《數學分析》是碩士研究生的重要考試科目，在職研究生科目《數學分析》考試大綱如下：

　　一、試卷滿分及考試時間

　　試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

　　二、答題方式

　　答題方式為閉卷、筆試。

　　三、試卷內容結構

　　數學分析100%。

　　四、試卷題型結構

　　試卷題型結構為：計算題9小題共76分;證明題5小題共74分。

　　五、考試內容知識點說明

　　(一)極限與連續(xù)

　　考試內容：

　　數列極限定義，收斂數列的性質，單調有界原理，柯西準則，函數極限概念。函數極限性質。歸結原理，柯西準則。兩個重要極限，無窮小量，無窮大量概念。無窮小量階的比較。連續(xù)性概念。連續(xù)函數的局部性質。閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。反函數連續(xù)函數。一致連續(xù)性，指數函數的連續(xù)性。初等函數連續(xù)性。區(qū)間套定理，柯西準則，聚點定理，有限覆蓋定理。

　　考試要求：

　　1.理解數列極限的定義，數列極限性質的原理及推導。單調有界原理，柯西準則及應用。

　　2.掌握函數極限的定義，函數極限存在的歸結原理。

　　3.理解連續(xù)性的定義及其證明，間斷點及其分類。連續(xù)函數的局部性質，閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。

　　4.了解區(qū)間套定理，柯西準則，聚點定理，有限覆蓋定理原理及證明。閉區(qū)間上的連續(xù)函數性質的原理及證明及應用。

　　5.熟練掌握數列極限定義證明，運算求極限。函數極限定義證明，運算求極限。函數極限柯西準則及應用。兩個重要極限的計算，無窮小量，無窮大量概念，無窮小量階的比較及應用。一致連續(xù)性及應用。

　　(二)一元函數微分學

　　考試內容：

　　導數概念，導函數，導數的四則運算，反函數的導數，復合函數的導數，求導法則與公式，微分概念，微分的運算法則，高階導數與高階微分，參數方程的一階及二階導數。中值定理。不定式極限。泰勒公式。函數的單調性與極值，函數的凸性，拐點。函數的圖象討論漸進線，作圖。

　　考試要求：

　　1.理解和掌握導數概念，導數的四則運算，反函數的導數，復合函數的導數。求導法則與公式。微分概念，微分的運算法則。高階導數與高階微分。 參數方程的一階及二階導數。

　　2.理解和掌握費爾馬定理，中值定理的原理及應用。

　　3.熟練計算未定式的極限。

　　4.熟練掌握泰勒公式，皮亞諾余項泰勒公式原理及應用，函數的單調性與極值，函數的凸性，拐點。

　　(三)一元函數積分學

　　考試內容：

　　原函數與不定積分。換元積分及分部積分法。有理函數的積分，三角函數的積分。定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數類。定積分的性質原理，微積分基本定理，換元積分法，分部積分法。非正常積分的定義，性質，判別準則。平面圖形的面積，直角坐標，參數方程的計算公式。由截面面積求立體體積�；￠L的定義，弧長的積分公式。旋轉曲面的面積。定積分在物理上的應用。

　　考試要求：

　　1.理解和掌握不定積分的運算法則，換元積分，分部積分法，有理函數的積分，三角函數的積分。定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數類。 2.熟練掌握定積分的性質原理，微積分基本定理，換元積分法，分部積分法及應用。

　　3.掌握非正常積分的定義，性質，熟練掌握非正常積分判別準則。

　　4.熟練掌握平面圖形的面積的計算。由截面面積求立體體積。曲線的弧長。旋轉曲面的面積。定積分在物理上的應用。

　　(四)無窮級數

　　考試內容：

　　級數的收斂性及發(fā)散。正項級數及其收斂性。一般項級數及其收斂性。函數列與函數項級數的一致收斂性及其判別法。冪級數的性質及其運算。函數的冪級數展開。傅里葉級數。

　　考試要求

　　1.熟練掌握級數一般判別原則，比較及根式判別方法，積分判別方法原理及使用。交錯級數，絕對收斂，阿貝爾判別法，狄利克雷判別法原理及應用。 2.熟練掌握函數列的一致收斂性，函數項級數的一致收斂性判別法原理及應用。一致收斂性函數列及函數項級數分析性質原理及應用。

　　3.熟練掌握阿貝爾定理，冪級數收斂區(qū)間判別方法，冪級數的分析性質，泰勒級數，冪級數的展開原理及應用。

　　4.理解函數展開成傅里葉級數。

　　(五)多元函數微分學

　　考試內容：

　　平面點集，完備性定理，函數概念，二元函數的極限，累次極限。連續(xù)性概念，閉域連續(xù)性的性質�？晌⑿裕�全微分，偏導數，可微性條件。復合函數的求導法則，復合函數的全微分。方向導數與梯度。泰勒公式與極值，中值定理和泰勒公式，極值問題。隱函數定理，隱函數組定理，隱函數求導。曲線切線和發(fā)平面，曲面的法平面與切線。

　　考試要求：

　　1.了解平面點集，函數概念，完備性定理。

　　2.熟練掌握二元函數的極限的計算，累次極限的計算。

　　3.理解連續(xù)性概念，閉域連續(xù)性的性質及應用。

　　4.掌握可微性，全微分，偏導數，可微性條件概念。

　　5.熟練掌握復合函數的求導法則，復合函數的全微分。

　　6.理解方向導數與梯度概念。熟練掌握：高階偏導數，中值定理和泰勒公式， 極值的充分及必要條件原理及應用。

　　7.熟練掌握隱函數，隱函數組的求導原理及應用。

　　8.熟練掌握曲線切線和發(fā)平面，曲面的法平面與切線。

　　(六)多元函數積分學

　　考試內容：

　　二，三重積分概念，重積分可積條件。累次積分，換元積分，參量積分求導。曲面面積，重心，轉動慣量，引力。含參變量非正常積分判別方法，分析性質。歐拉積分概念及性質。第一型曲線積分與第一型曲面積分概念，計算公式。第二型曲線積分概念，計算公式。格林公式，曲線積分與路徑無關。第二型曲面的側概念，計算公式。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。

　　1.理解二重積分概念，二重積分可積條件。三重積分概念。曲面面積，重心，轉動慣量，引力。第一型曲線積分與第一型曲面積分概念。第二型曲線積分概念。

　　2.熟練掌握二重積分的計算：累次積分，換元積分，參量積分求導。三重積分累次積分，換元積分的計算。

　　3.理解和掌握：含參變量非正常積分判別方法，分析性質。歐拉積分概念及性質。

　　4.熟練掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分計算公式，第二型曲線積分計算公式，第二型曲面積分計算公式。格林公式，路徑無關定理。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。

　　六、參考資料

　　1.華東師范大學數學系編.數學分析(第四版).高等教育出版社，2010.

　　2.菲赫金哥爾茨.微積分學教程(第八版).高等教育出版社，2006.